Вячеслав Желваков родился 24 октября 1956 года в Яранске Кировской области. Он учился в детской художественной школе в Йошкар-Оле. В 1976 году Вячеслав окончил Марийское художественное училище, где преподавал его отец Юрий Андреевич Желваков.
В 1982 году Вячеслав окончил Московский государственный академический художественный институт им. В.И. Сурикова – по специальности «станковая графика». В годы учёбы в институте он освоил одну из сложнейших техник этого вида изобразительного искусства – офорт и гравюру. Благодаря технике офорта ему удалось зримо и мощно решить тему дипломной работы – «Труды и дни Михайло Ломоносова». Ему присвоена квалификация художника-графика. В 1987 году он окончил творческую мастерскую графики Академии художеств СССР под руководством академика О.Г. Верейского.
В 1988 году Вячеслав вступил в Союз художников СССР (с 1997 года – Союз художников России), Московского отделения Союза художников России (1997). С 1989 года он работал в Студии художников МВД РСФСР им. В.В. Верещагина. Вячеслав преподавал в Российской Академии живописи, ваяния и зодчества Ильи Глазунова, с 1991 года – профессор кафедры живописи и академического рисунка. В 2006 году Желвакова вступил в Творческий союз художников и был избран Академиком Российской академии художеств (Отделение графики), в 2007 году ему присвоено звание Народный художник Российской Федерации. Книжная иллюстрация занимает важное место в творчестве художника-графика. Вячеслав Юрьевич считает, что в оформлении «главное – любовь к книге и желание понять стиль писателя». Среди созданных им работ иллюстрации к роману М. Булгакова «Мастер и Маргарита», иллюстрации к произведениям Н. Гоголя «Вечера на хуторе близь Диканьки», Яна «Батый». Интерес к истории Отечества, идея воссоздания в народной памяти подвигов его героев нашла воплощение в цикле графических листов «Полководцы России», где Вячеславу удалось отразить и воссоздать героические страницы подвигов наших предков: Александра Невского и Дмитрия Донского, Дмитрия Пожарского и Кузьмы Минина, Александра Суворова и Михаила Кутузова, Михаила Скобелева и Георгия Жукова… Каждому образу соответствует конкретная историческая символика, представленная в своеобразных картушах, обрамляющих изображения славных сынов Отечества. Во время поездок по русскому Северу и другим местам им выполнены пастельные пейзажи и листы с архитектурными элементами. Его основные произведения «Труды и дни Михайло Ломоносова» (1982), «На родине Фёдора Абрамова» (1986), «Будни и праздники северной деревни» (1988), «Легенда о Нормандии» (2000), «По Дальнему востоку», «По БАМу» (1992), «По Греции» (1996–1997), «Долгие ночи блокадные» (1995), «Солдатские песни» (1995, 1996), «Славные сыны Отечества» (1999–2005 ), «Будёновская трагедия» (1995), «Городовые российской империи» (1999–2005), «Флотоводцы России» (2005–2010), «Жаркое лето Иерусалима 2006» (2008), серия иллюстраций к роману М. Булгакова «Мастер и Маргарита» (2004–2014), «Городовые российской империи» (1999–2005), «История милиции – история страны» (2009–2012), «Хроника транспортной полиции» (2012–2014). С 2012 до 2016 год Вячеслав Юрьевич являлся членом Комиссии при Президенте Российской Федерации по присуждению звания «Народный художник России». Он является членом Общественного совета при УТ МВД России по Центральному Федеральному округу, Советником по культуре при Председателе Совета ветеранов УТ МВД по Центральному Федеральному округу. С 2911 года Вячеслав Юрьевич преподаёт в Академии акварели и изящных искусств Сергея Андрияки, профессор кафедры живописи, рисунка и композиции. С 2020 года он назначен директором Школы акварели Сергея Андрияки. Произведения Вячеслава Желвакова дают убедительное представление о верности мастера своему призванию, о широте творческого кругозора, приверженности великим традициям мирового искусства, о педагогическом даре, который он воспринял от своих старших коллег и наставников. Его искусство обладает самостоятельной стилистикой, эстетикой, философской познавательностью и открытостью к диалогу со зрителем.
Вячеслав Желваков участник выставок: московских, всероссийских, всесоюзных и зарубежных – США, Великобритания, Португалия, Греция, Германия, Франция, Нидерланды, Япония и других странах. Его персональные выставки проходили в галерее «Дом Озерова» в Коломне (2022), Александровском художественно-краеведческом музее (2024),а так же с 11 декабря 2024 по 11 февраля 2025 года в Сергиево-Посадском филиале ВГИК выставка его иллюстраций к книге «Мастер и Маргарита».
Работы Вячеслава Желвакова находятся в музее Академии акварели и изящных искусств Сергея Андрияки, Школьном музее Победы на Поклонной горе, в крупнейших музеях России, в галереях и частных собраниях заграницей.
