Александр Новоскольцев родился 29 ноября (17 по старому стилю) 1853 года в Землянске Воронежской губернии.
В 1878 году Александр окончил Московское училище живописи, ваяния и зодчества (1878), где обучался у Василия Перова и Евграфа Сорокина. После окончания обучения в Училище он поступил в натурный класс Императорской Академии художеств. За время обучения в Академии он получил Малую, Большую серебряные медали (1879), Малую золотую (1880) за программу «Иаков узнаёт одежду сына своего Иосифа, проданного братьями в Египет» и Большую золотую медаль и звание классного художника 1-й степени (1881) за картину «Святой Сергий благословляет Дмитрия Донского на битву и отпускает с ним двух иноков».
После окончания обучения в Академии Александр был отправлен в 1882 году пенсионером Академии художеств по странам Европы. Из многочисленных картин Александра Никаноровича можно выделить «На скамье подсудимых» (1879), «Преподобный Сергий благословляет вел. кн. Дмитрия Донского перед его походом против Мамая» (1882), «Уголок Венеции» (1885), «После маскарада» (1886), «Летописец» (1887), «На исповеди» (1888), «Последние минуты митрополита Филиппа» (1889). Они написаны сочно, эмоционально, с мастерским цветовым решением. В 1889 году он получил звание академика исторической живописи за картину «Последние минуты митрополита Филиппа». С 1887 по 1889 год он преподавал рисование в гипсовом классе Академии художеств и школе барона Штиглица. Кроме картин Александр писал также образа для иконостасов, выполнил эскизы мозаик для одного из храмов Санкт–Петербурга. В 1889–1899 годах в мастерской Новоскольцева для иконостаса Таллинского кафедрального собора были выполнены 59 икон и 4 киота на цинковых и медных досках. По его эскизам были выполнены цветные стёкла для алтарных окнон главного придела с изображением Спасителя, Богородицы и Иоанна Предтечи. Александр Никанорович выполнил мозаики в Храме Спаса на Крови: на юго-восточном подкупольном пилоне «Преподобные Прохор и Никон Печерские», «Мученицы Лидия и Анастасия», «Апостолы Евод и Иуст», а также ещё несколько библейских сюжетов на других пилонах храма.
С 1878 года Александр Новоскольцев участвовал в выставках Императорской Академии художеств. В 1896–1906 годах он экспонировал свои работы на выставках Общества художников исторической живописи (ОХИЖ).
Произведения Александра Новоскольцева сохранились в Государственном Русском музее, Музей Академии художеств, Воронежском областном художественном музее им. И.Н. Крамского, Калининградском областном музее изобразительных искусств, Вольском краеведческом музее, музеях Тамбова, Нижнего Новгорода, Твери и Одессы. Некоторые картины Новоскольцева находятся в частных коллекциях.
Александр Новоскольцев умер в 1919 году в Петрограде.
