Николай Бекряёв родился 11 апреля (30 марта по старому стилю) 1874 года в селе Виропяха (современная Долгополовская) недалеко от Красноборска Сольвычегодского уезда Вологодской губернии. Его родителями были Мария Николаевна и Егор Николаевич, участника Крымской войны, прослужившего на военном флоте 25 лет. Николай рано остался без родителей и подростком был вынужден содержать семью. Его учитель, А.И. Сысоев, заметив талант ученика, на свои деньги отправил Николая в Соловецкий монастырь в иконописную мастерскую. Через два года он поступил в петербургскую Рисовальную школу Общества поощрения художеств.
С 1900 года Николай обучался в санкт-петербургском Высшем художественном училище при Императорской Академии художеств, в классе жанровой и портретной живописи профессора Владимира Егоровича Маковского. За конкурсную дипломную работу «Выбор приданого» ему было присуждено звание художника живописи (2.11.1910).
В 1910 году Николай женился на Людмиле Фёдоровне Борисовой, родственнице художника А.А. Борисова. В Петербурге у них родились сын Сергей и дочь Галина. За 1911 год в журнале «Нива» № 10, была помещена репродукция дипломной работы Николая Георгиевича со следующим текстом: «Хлопотливое и мудрёное дело – выбор приданого. Разве шуточное дело, выбрать из целого вороха шалей, платков и всяких материй то, что пришлось бы по вкусу и вместе с тем по карману? Занимательную и не лишенную мягкого юмора сценку в этом роде изображает Н. Бекряшёв, получивший за свою картину звание художника». В 1915 году по предложению профессора Михаила Ивановича Помяловского, директора Великоустюжской мужской гимназии, семья Николая Георгиевича переехала из Петербурга в Великий Устюг, где он стал преподавать рисование в двух гимназиях. Глубокие и тесные связи сложились у Бекряшёва с известным русским художником, «певцом Русского Севера», А.А. Борисовым, картины которого в 1918 году фактически он спас от реквизиции, перевезя их в открывшийся в Великом Устюге музей. Творческая судьба Николая Бекряшёва сложилась так, что его художественное дарование оказалось полностью подчинено задачам создания устюжского музея, ставшего главным делом его жизни. В 1918 году Николай Георгиевич был в числе основателей великоустюгского Музея северодвинской культуры. С ноября 1924 по 1938 год он был его бессменным директором. Вокруг Николая Георгиевича Бекряшёва объединились лучшие представители устюжской интеллигенции. В журнале «Наши достижения» за 1936 год писатель Сергей Марков в очерке о Н.Г. Бекряшёве писал: «Северодвинский музей явление замечательное, но знают его у нас мало. Бекряшёв в маленьком сухонском городе совершил подвиг, создав замечательный музей. Старик бился за охрану памятников города и, пожалуй, этим он, непонятный, – и снискал себе злобу невежд… Бекряшёву мы обязаны тем, что сейчас мы можем видеть и осязать прекрасные творения старых мастеров…». В отчёте о работе музея за 1934 год записано: «О непорядках по охране памятников музей сообщал в комитет по охране памятников при Президиуме ВЦИК, в Севкрайоно. Музей на месте принимал все меры к тому, чтобы была налажена охрана памятников, но ко всем его просьбам В-Устюгский горсовет был глух. В конце концов, всё дело по плохой охране памятников музей передал районному прокурору». Его арестовали 20 февраля 1938 года. Николай Георгиевич Бекряшёв был объявлен врагом народа и приговорён к трём годам заключения в исправительно-трудовой лагерь.
Николай Бекряшёв принимал участие в Академических выставках с 1910 года. Его работы демострировались на выставке, предварявшей открытие Музея культуры Северной Двины, в 1918 году. В 1920–1930‑е годы Николай Георгиевич демонстрировал свои работы на местных и региональных выставках в Великом Устюге.
Большинство работ Николая Бекряшева хранится в Великоустюгском государственном историко–архитектурном и художественном музее–заповеднике.
Николай Бекряшёв скончался 6 апреля 1939 года в трудовом лагере, возле Плесецка Архангельской области. В 1959 году он был посмертно реабилитирован за отсутствием состава преступления.
