Гелий Коржев (Коржев-Чувелёв) родился 7 июля 1925 года в Москве в семье архитектора Михаила Петровича и Серафимы Михайловны Коржевых. В 1929 году семья Коржевых переехала в один их первых кооперативных домов в 1-м Зачатьевском переулке, дом 13.
В 1933 году Гелий поступил в начальную школу и посещал детскую студию в Государственном музее изобразительного искусства на ул. Волхонке. С 1936 года он учился в изостудии при Доме художественного воспитания Фрунзенского района на Большой Пироговской улице под руководством ученицы В.А. Серова и К.Ф. Юона Антонины Петровны Сергеевой. В 1939 году по совету А.С. Сергеевой он сдал вступительные экзамены в только что открывшуюся Московскую среднюю художественную школу (МСХШ). По результатам экзаменов Гелий был принят в третий класс. Среди первого набора в МСХШ были В.Ф. Стожаров, Л.А. Шитов, А.П. Ткачёв, В.И. Иванов, В.З. Пурыгин, А.С. Папикян, К.В. Бахтеева, П.П. Оссовский и другие. Специальные предметы в школе вели художники В.В. Почиталов, М.В. Добросердов, А.П. Шорчев, С.М. Михайловский. Директором школы был назначен Н.А. Каренберг. В 1941 году по настоянию учителей вместе с последней группой педагогов и воспитанников МСХШ Гелий был эвакуировался в Башкирию (село Воскресенское), где педагоги постепенно наладили быт и занятия школы. В 1944 году школа вернулась в Москву, где была проведена отчётная выставка в залах «Всекохудожника», по результатам которой все воспитанники школы были приняты в Московский художественный институт (МХИ), ныне Московский государственный академический художественный институт им. В.И. Сурикова. С 3-го курса института Гелий обучался в мастерской С.В. Герасимова, В.В. Почиталова. В 1950 году он окончил институт. Его дипломная работа «Молодые архитекторы» получила оценку «хорошо». Ему была присвоена квалификация «художник-живописец».
В 1946 году, во время учёбы в институте, Гелий вступил в брак с Кирой Владимировной Бахтеевой (1923–2007). В 1951 году он получил приглашение С.В. Герасимова работать в Московском высшем художественно-промышленном училище (МВХПУ), бывшее Строгановское, на должности старшего преподавателя, где преподавал до 1958 года. Гелий работал в бригаде П.П. Соколова-Скали над художественным панно для Всесоюзной сельскохозяйственной выставки. В 1952 году совместно с П.П. Оссовским он иллюстрировал книгу А.П. Гайдара «Горячий камень», в том числе «Сказку о военной тайне, о Мальчише-Кибальчише и его твёрдом слове», для издательства «Детгиз». Также он выполнял иллюстрации для ряда других издательств. Гелий Коржева приняли в члены Московского союза художников, минуя обязательный кандидатский стаж. Рекомендации в Союз ему дали его учитель С.В. Герасимов и П.П. Соколов-Скаля. Коржев – член-корреспондент (1964), действительный член Академии художеств СССР (1970), профессор (1966), депутат Верховного Совета РСФСР (1963–1967 и 1975–1980). Коржев – член Союза Художников, Председатель правления СХ РСФСР (1963–1967), секретарь правления СХ СССР (1968–1987). Гелий руководил творческой мастерской живописи Академии художеств, Москва (1968–1976). В своих острых по композиции и сдержанных по колориту картинах с выделенными крупным планом, тщательно моделированными фигурами Коржев обращается к большим общечеловеческим темам, показывая людей в драматических, героических и бытовых ситуациях – триптих «Коммунисты», 1957–1960, серия «Опалённые огнём войны», 1962–1967. Произведения Коржева написаны в осязательно-предметной манере, проникнуты драматизмом нашей жизни и пафосом непреклонного мужества – «Влюблённые» (1957–1959), «Егорка-летун» (1976–1980), «Опрокинутый» (1970–1976), «Обречённая» (1970–1975), «Заслон», «Художник» (1960–1961), «Дезертир» (1985–1995), «Последний звонок» (1985), «Дополнительный урок» (1987–1993), «Достоевский на каторге» (1986–1990), «К своим» (1988–1990), «Маруся» (1990–1991), «Искушение» (1985–1990), «Распятие» (1993–1994)). Символом политических интриг «перестроечного» периода стали его сюрреалистические «Мутанты» (Тюрлики, 1984–1991). В 1990-е годы Коржев не раз обращался к мотивам «Дон Кихота» и Евангелия.
В 1954 году на Выставке произведений молодых московских художников с 24 марта по 25 апреля в Выставочном зале Союза художников СССР была представлена первая законченная картина Гелия Коржева «В дни войны».
Работы Гелия Коржева находятся в Государственной Третьяковской галерее, Государственном Русском музее и частных собраниях.
Гелий Коржев скончался 27 августа 2012 года. Похоронен на Алексеевском кладбище Москвы. Памятник на могиле выполнен внуком Иваном по эскизам Гелия Михайловича.
