Александр Кибальников родился 22 августа (9 по старому стилю) 1912 года в деревне Орехово (ныне Даниловского района Волгоградской области) в крестьянской семье.
В 1929–1932 годах Александр учился на живописном отделении Саратовского художественного техникума (ныне – Саратовское художественное училище им. А.П. Боголюбова), одновременно работая в порту грузчиком.
В 1935 году Александр был призван на военную службу. После армии, получив образование он работал театральным декоратором и бутафором (с 1938). В 1940 году Кибальников участвовал в конкурсе на памятник Чернышевскому в Саратове. Александр проживал в Саратове с 1929 по 1949 год, непродолжительное время жил в Курске – с 1938 по 1939 год, а с 1949 года он жил и работал в Москве.
Во время Великой Отечественной войны (1941–1945) Александр становится активным участником саратовских «Окон ТАСС». Он создаёт цикл скульптурных произведений, посвящённых воинам Советской Армии, партизанам: «Рабочий с автоматом», «Народный мститель», «Советский воин», «Непокорённый». В 1943 году он создает скульптурные портреты защитника Сталинграда краснофлотца Зитулы, гвардии сержанта В. Лисина, Героя Советского Союза летчицы Марины Расковой. С 1944 года Александр участвовал в конкурсах на проект памятника В.В. Маяковскому в Москве наряду с Вучетичем, Манизером, Коненковым и другими мастерами. Выставка проектов проводилась в Историческом музее, проект Александра Павловича был принят к постройке и завершён в 1958 году. Также Александра изготовил несколько портретов Маяковского, один из которых был отлит в бронзе и установлен на могиле поэта на Новодевичьем клрадбище, другой – на станции метро «Маяковская». Следующей крупной его работой стал памятник Сергею Есенину на его родине поэта в Рязани (1975). Два десятка лет Кибальников вынашивал замысел гранитного памятника П. Третьякову перед зданием Третьяковской галереи. Замысел был воплощён в 1980 году. Кибальникову удалось вписать статую в архитектурное окружение, найти верный масштаб и хороший вид с нескольких точек. В творчестве Кибальникова неоднократно встречается мотив появления скульптурного портрета из грубо сколотого камня, как, например, в мраморном портрете дочери («Пробуждение»), гранитном бюсте А.Н. Радищева в Саратове, мраморном портрете Третьякова, полуфигуре Есенина и других. Александр Павлович был главой коллектива авторов Мемориального комплекса «Брестская крепость-герой», где он лично выполнил композиции «Солдат» и «Жажда» и обелиск «Штык». Кибальников был членом Союза художников СССР, действительным членом АХ СССР (1954). В 1963 году ему присуждают звание Народный художник СССР и Народный художник РСФСР. В 1963–1966 годах он был председателем правления Московского отделения Союза художников РСФСР. Кибальникова избирают членом Президиума и академиком-секретарём отделения скульптуры Академии художеств СССР (1974). Он делегат XXIII съезда КПСС.
Первые выставки Александр Кибальников начал покорять ещё будучи студентом.
В 1979 году скульптурный бронзовый портрет поэта Сергея Есенина работы Александра Кибальникова была передана Ивановскому художественному музею Министерством культуры.
Александр Кибальников скончался 5 сентября 1987 года в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище (уч. № 10).
