Илья Чашник родился 26 июня (13 по старому стилю) 1902 года в еврейской семье в Люцине Витебской губернии Российской империи (ныне город Лудза в Латвии). После его рождения семья переехала в губернский Витебск. В возрасте 11 лет Илья был вынужден оставить школу и поступить учеником в оптико-механическую мастерскую, где он научился токарному и сверлильному делу, черчению и азам проектирования. В 1917–1918 годах он начал по воскресным дням посещать частную Школу рисования и живописи Юделя Пэна, в которой в которой еврейские дети могли обучаться бесплатно. Ранее, в этой школе учились Эль Лисицкий, Осип Цадкин, Марк Шагал и другие художники. После того, как финансовое положение семьи улучшилось, Илья смог вернуться в среднюю школу и закончить её. В 1918 году Илья поехал в Москву и записался в архитектурные мастерские во Вторых Государственных свободных художественных мастерских, где преподавал в том числе Казимир Малевич.
Услышав, что в Витебск приехал Марк Шагал, преобразовавший школу своего учителя Пэна в Народное художественное училище, Илья вернулся в родной город и начал заниматься у Шагала. Летом 1919 года он был отмечен премией на первой отчётной выставке училища, а одна его картина была рекомендована в музей при училище. В 1919 году Шагал предложил возглавить мастерскую графики, печати и архитектуры Элю Лисицкому, получившему фундаментальное архитектурное образование в Германии. Илья, уже делавший попытку связать свою судьбу с архитектурой, сразу же перешёл в мастерскую к Лисицкому.
В 1920 году было образовано общество «Утвердители Нового Искусства» (УНОВИС). В неё вошли Эль Лисицкий, Лазарь Хидекель, Илья Чашник, Нина Коган, Николай Суетин и другие. Вместе с учителем и соратниками по УНОВИСу Илья принимал участие в декоративном оформлении Витебска к третьей годовщине Октябрьской революции, затем к Первомайским праздникам. Он руководил изданием газеты «УНОВИС. Листок». В это время Илья пробует себя в преподавательской работе. Он учится сам и одновременно ведёт курс живописной конструкции в Витебском высшем художественно-практическом институте. Постигнув в Витебске основные принципы супрематизма, он вместе с Николаем Суетиным становятся ведущими художниками УНОВИСа. В 1922 году Казимира Малевича приглашают в Петроград – руководить Музеем художественной культуры (МХК). Вместе с ним отправились его ученики Илья Чашник и Николай Суетин. Чашник принял супрематизм всем сердцем и душой, полностью погрузившись в работу над художественными беспредметными формами. Он исследовал проблему чёрного цвета и его взаимодействие с другими цветами. В Петрограде он занимался разработкой промышленного дизайна, создавал эскизы оформления мебели, ткани, обоев, помогал Казимиру Малевичу в разработке и создании моделей пространственных супрематических композиций – архитектонов. При этом Чашник не бросал живопись, его излюбленными цветами по-прежнему были черный, белый и красный. В 1923 году Илья становится научным сотрудником Государственного института художественной культуры (ГИНХУКа), созданного на базе МХК. С 1923 по 1924 год вместе с Суетиным Чашник работал на Государственном фарфоровым заводе. Он расписывал фарфор, используя как собственные композиции, так и разработки своего учителя Малевича. Советский авангардный фарфор имел большой успех на Международной выставке декоративного искусства в Париже (1925), и Илья Григорьевич получил заказы, которые шли на экспорт. Всего год он с товарищами проработали в экспериментальной лаборатории Декоративного института (1925–1926), затем он трудился в Комитете художественной промышленности ГИИИ (1926–1927). В 1927–1928 годах вместе с Суетиным Чашник работал в мастерской архитектора Александра Никольского. Они подбирали цвета для новых общественных зданий: школы, клубы, стадионы, мосты должны были выглядеть современно, и для них искали прогрессивные решения, руководствуясь принципами беспредметной живописи.
В 1921–1922 годы Илья Чашник участвовал в выставках в Москве. В 1923 году он принимал участие в проходившей в залах Академии Художеств «Выставке картин петроградских художников всех направлений за 5-летний период деятельности 1918–1923». Он принимал участие в Международной выставке декоративных искусств (Париж, 1925).
Работы Ильи Чашника хранятся в Государственном Эрмитаже, Государственном Русском музее, Государственной Третьяковской галерее, Музее Тиссен-Борнемиса (Мадрид), Музее Людвига (Кёльн) и в других государственных и частных собраниях.
Илья Чашник скончался 4 марта 1929 года от перитонита после неудачной операции по удалению аппендицита.
