Андрей Гончаров родился 22 июня (9 по старому стилю) 1903 года в Московской семье. Его отчим Сергей Георгиевич Кара–Мурза был известным в Москве адвокатом. Его мама – Мария Алексеевна Кара–Мурза (Головкина, в первом браке Гончарова). Она старалась способствовать развитию художественных способностей сына, рассказывая ему о художниках, посещала с ним музеи и поощряла его детские художественные эксперименты.
Андрей учился в Москве в Школе живописи и рисования К. Юона и И. Дудина (1915–1916), в студии И. Машкова (1917–1918), во вторых Государственных свободных художественных мастерских (1918–1921) сначала у И. Машкова, а затем у А. Шевченко. С 1921 по 1927 год он обучался на графическом факультете Высших художественно–технических мастерских – институте (ВХУТЕМАС–ВХУТЕИН) у Н. Купреянова и Н. Павлинова, в 1927-м году – у В. Фаворского. Последний оказал большое влияние на его творчество, привив интерес к ксилографии. Дипломной работой Андрея стали иллюстрации к поэме «Пугачёв» С. Есенина (гравюры на дереве).
В 1923 году Андрей работал иллюстратором в газетах, журналах и издательствах (Известия ЦИК, Academia, «Молодая гвардия», ГИХЛ и другие). В 1924 году с А. Дейнекой и Ю. Пименовым он организовал «Объединение трёх». Также он был одним из основателей Общества станковистов (ОСТ, 1925–1932). В отличие от других остовцев, ориентировавшихся на отображение современности, он обратился к историческим сюжетам. Основой своего стиля Гончаров понимал цвет. Цветовой силуэт – таков был его метод. Возможно, поэтому ему было столь близко творчество Андрея Рублёва и русских иконописцев XII–XV веков, а также Веласкеса, Рембрандта, Шардена и Матисса. Большое место в работе Андрея Дмитриевича занимала его педагогическая деятельность. Как педагог он начал работать с 1924 года, когда стал ассистировать В.А. Фаворскому во ВХУТЕИНе по ксилографии и графическим дисциплинам. Затем он преподавал рисунок, живопись, теорию композиции в 1927–1929 годах на курсах изобразительного искусства Фрунзенского отдела народного образования Москвы и на этнологическом факультете в МГУ. В 1929–1930 годах он был доцентом и заведующим основным отделением Ленинградского ВХУТЕИНа и преподавал там живопись. В 1930–1934 годах – доцент, преподававший живопись, рисунок, ксилографию и композицию книги на издательском факультете Полиграфического института в Москве, а в 1934–1938 годах – доцент МГАХИ им. В.И.Сурикова.
Во время Великой Отечественной войны Андрей служил в рядах Красной армии. Он работал выпускающим редактором и художником в журнале «Фронтовой юмор» (издание 3-го Белорусского фронта), а затем главным художником выставки «Политработа в частях 3-го Белорусского фронта». После окончания войны и демобилизации он продолжил преподавательскую деятельность. В 1947–1948 годах Гончаров преподавал в Московском центральном художественно–промышленном училище на факультете монументальной живописи, в 1948–1979 годах преподавал в Московском полиграфическом институте, где с 1950 по 1974 год заведовал кафедрой рисунка и живописи. Андрею Гончарову было присвоено звание профессора (1958), Заслуженный деятель искусств РСФСР (1969), Народный художник РСФСР (1979). В 1973 году он был выбран Членом-корреспондентом Академии художеств СССР.
В 1924 году Андрей Гончаров впервые выставил свои работы на Первой дискуссионной выставке объединений активного революционного искусства (Москва). Он участвовал в Первой Государственной передвижной выставке картин (1925, Москва, Саратов, Сталинград, Казань, Нижний Новгород), «Гравюра СССР за 10 лет» (1927, Москва), художественных произведений к десятилетнему юбилею Октябрьской революции (1928, Москва), Первая передвижная выставка живописи и графики (1929, Москва), современной графики (1929, Ереван), юбилейная выставка «Художники РСФСР за XV лет» (1932, Ленинград; 1933, Москва), художественная выставка «XV лет РККА» (1933, Москва; 1934, Ленинград, Киев; 1935, Харьков), «Индустрия социализма» (1939, Москва), «Героический фронт и тыл» (1943–1944, Москва), всесоюзные художественные выставки 1947 и 1950 (Москва), живописи, скульптуры, графики и работ художников театра и кино Москвы и Ленинграда (1955, Москва), живописи, скульптуры, графики к Первому Всесоюзному съезду советских художников (1957, Москва), «40 лет ВЛКСМ» (1958, Москва) и других. Его персональные выставки прошли в Казани (1928, 1934), Москве (1946, 1955, 1958, 1959, 1960, 1965, 1984), Ленинграде (1962).
Работы Андрея Гончарова находятся в Государственном Русском музее, Государственной Третьяковской галерее, Архангельском областном музее изобразительных искусств, Курской областной картинной галерее им. А. Дейнеки, Пермской Государственной художественной галерее, Белорусском государственном музее социалистического преобразования Полесья, Львовской картинной галерее, Киргизском государственном музее изобразительных искусств, Национальной галерее в Берлине и в частных собраниях.
Андрей Гончаров скончался 6 июня 1979 года в Москве. Похоронен на Кунцевском кладбище.
