Борух Эгиз родился 30 июля 1869 года в караимской семье Одессы. В 1889 году он окончил 2-ю Одесскую гимназию, учился в коммерческом училище и Одесской рисовальной школе у известного живописца Кириака Костанди (1886–1890).
В 1890 году Борух поступил в Императорскую академию художеств в Петербурге. Среди его учителей был мастер исторической картины и портретист Павел Чистяков. Борух окончил натурный класс академии с медалью и званием классного художника (1894), в 1896–1897 годах он совершенствовал мастерство в Париже в Академии Жюльена и Колороси у Жана-Поля Лорана и Бенжамена Констана.
В 1893 года Борух вошёл в Товарищество южнорусских художников, а в 1904–1909 годах он был его секретарём. В 1897 году Борух вернулся в Одессу, где до 1920 года преподавал рисование в гимназиях города, давал частные уроки, участвовал в выставках и первом салоне Владимира Издебского, был частым гостем Одесского общества изящных искусств. В 1910–1911 годах Борух посетил караимские исторические и духовные центры Крыма, где написал ряд портретов караимов в национальной одежде. Летом 1917 года вместе с Костанди его избрали представителем Товарищества южнорусских художников в одесском Союзе работников пластических искусств.
В 1920 году Боруху предложили должность заместителя заведующего музейным фондом, в 1918–1921 годах – помощника директора музея изящных искусств Одессы. После смерти Костанди в 1922 году Борух стал одним из членов-основателей Художественного общества, но 13 октября 1922 года он уехал в Стамбул. В Турции Борух работал как портретист и преподаватель рисования. Создал его карандашный рисунок «Всадник около крепости Чуфут-Кале» (1920–1930). В 1929 году Борух переехал в Париж, через несколько лет он перебрался к сестре (известный хирург-офтальмолог, жена учёного и общественного деятеля Серая Шапшала) Вере Шапшал в Вильнюс. В Вильнюсе Борух занимался частными уроками и получил популярность как мастер бытового портрета. В 1938 году он написал несколько этнографических и исторических портретов караимов: «Караимский сельчанин», «Караимский горожанин», «Марк Шапшал», «Самуил Пампулов». Шедевром Эгиза стал портрет-тип «Караимская танцовщица» (1939), написанный в технике масляной живописи. Художник представил собирательный образ караимской девушки в национальном костюме, танцующей народный танец хайтарму. В 1940-е годы Борух создал ещё шесть портретов караимок из своего близкого окружения. К ним относится «Портрет Марианны Заянчковской» – караимской поэтессы и переводчицы из Польши. В 1944 году Борух вступил в Союз художников Литовской ССР. Он работал в различных жанрах – от пейзажа и натюрморта до стиля ню и портрета. Его картины того времени исполнены в различных живописных и графических техниках.
Борух Эгиз регулярно участвовал в большинстве выставок Товарищества южнорусских художников (ТЮРХ) с 1893 по 1919 год, Юбилейной выставке Одесской рисовальной школы (1900), Художественно–промышленной выставке (1910), Салоне Владимира Издебского (1909/1910), Благотворительной Выставке–лотереи (1914), в 1-й Народной выставке картин, плакатов, вывесок и детского творчества (1918) и Народной выставке картин памяти Тараса Шевченко (1920). Также его работы демострировались на выставках в Константинополе (Стамбуле) (1922–1929), Париже (1929–1930), Вильно (Вильнюсе) (1930–1946).
Работы Боруха Эгиза хранятся в Евпаторийском краеведческом музее, Литовском национальном музее, Музее искусства Литвы, Тракайском музее истории, и ряде частных коллекций в Одессе, Киеве, Риге, Вильнюсе, Санкт-Петербурга. После смерти, Эгиз оставил около 50 произведений. Одесский художественный музей отказался их принять, их судьба неизвестна.
Борух Эгиз скончался 23 сентября 1946 года в Вильнюсе.
