Дмитрий Бисти родился 27 июня 1925 года в Севастополе. Его дед Леонид Георгиевич Бисти был родом с греческого острова Андрос, что недалеко от столицы Греции Афин. В 1890 году он обосновался в Балаклаве, где открыл гостиницу «Россия». Его отец – Спиридон Леонидович в 1920-е годы был юристом. Дмитрий занимался в студии юных художников при Севастопольском дворце пионеров. С 1939 по 1941 год он учился в московской средней художественной школе при Художественном училище памяти 1905 года.
С началом Великой Отечественной войны, из-за малого возраста Дмитрию отказали в отправке добровольцем на фронт. Он был принят на военный завод, где до окончания войны был занят на важном для победы производстве оружия и боеприпасов.
В 1947 году Дмитрий поступил в Московский полиграфический институт, где учился у А.Д. Гончарова и П.Г. Захарова. Обучение в институте он завершил в 1952 году.
Уже в 1947 году, ещё обучаясь в институте, Дмитрий Бисти начал сотрудничать как художник–оформитель с крупными советскими издательствами «Художественная литература», «Детская литература», «Современник». В 1955 году он вступил в Союз художников СССР. С 1960-х годов Дмитрий стал известен как иллюстратор и оформитель книг. В 1967 году он получил заказ на оформление поэмы В. Маяковского «Владимир Ильич Ленин» – подарочного издания к 50-летию Октябрьской революции. Дмитрий принимал участие в оформлении собраний сочинений Лопе де Вега, Проспера Мериме, произведений Бертольда Брехта, Акутагавы Рюноскэ, А.С. Грибоедова, С. Маршака, В. Маяковского, Вергилия, Гомера, Апулея и других. Значительная часть его творчества посвящена дизайну книги, работе со шрифтами, конструированию макетов, оформлению титульных листов, переплётов и суперобложек. Его излюбленная техника – гравюра на дереве. Дмитрий работал также в технике офорта («Песнь о Роланде», 1976) и цветной ксилографии. Он участвовал в оформлении двухсоттомной серии «Библиотека всемирной литературы». С 1978 по 1986 год Дмитрий Спиридонович преподавал рисунок и композицию в Московском полиграфическом институте, профессор (1981). В 1979 году Мисти избирают членом-корреспондентом, а в 1988 году – действительным членом Академии художеств СССР. В 1984 году ему было присвоено звание Народный художник РСФСР и Вице-президентом Академии художеств СССР. Дмитрий Спиридонович автор работ «Одиссея» Гомера (1959), «Приключения Чипполино» Джанни Родари (1960), «Лирические эпиграммы» С.Я. Маршака (1965), «Суд памяти» Егора Исаева (1965), «В стране водяных» Рюноскэ Акутагавы (1970), «Слово о полку Игореве» (1988), «Метаморфозы» Апулея (1988).
Персональная выставка Дмитрия Бисти «Андрей Бисти – скульптура, Дмитрий Бисти – графика» состоялась в 2016 году в галерее «Открытый клуб».
Работы Дмитрия Бисти находятся в собрании Государственной Третьяковской галереи, Государственного Русского музея, государственных и частных собраниях в России и зарубежом.
Дмитрий Бисти скончался 21 октября 1990 года в Москве. Похоронен на Кунцевском кладбище.
