Иван Чуйеов родился 22 мая 1935 года в Москве в семье известного художника Семёна Чуйкова, автора картины «Дочь Советской Киргизии», и художницы Евгении Малеиной.
С 1954 по 1960 год Иван учился в Московском государственном художественном институте им. В.И. Сурикова.
С 1960 по 1962 год Иван преподавал во Владивостокском художественном училище. По возвращении в Москву он не сразу присоединяется к неофициальному двинжению, разрабатывая самостоятельную линию концептуального искусства. Так возникают циклы: «Виртуальные объекты», «Дорожные знаки», «Панорама», «Окна», «Фрагмент», в которых Иван анализирует и организует в собственную эстетическую систему поиски современного мирового искусства. В конце 1960-х годов он сжёг практически все свои живописные работы. В 1968 году Иван вступил в Союз художников СССР. Чуйков работал на Художественном комбинате, где рисовал пейзажные задники для сельских клубов, был участником объединения художников «Сретенский бульвар». Он работает в простом, почти плакатном стиле, близком к «поп-арту». Эта первичная ясность эстетики, ориентированной на изображение, определяется задачами его художественной концепции. Чуйков перерабатывает материал классического и тривиального искусства, используя его как матрицы. Эта практика определяет особое место его работ в контексте московских нонконформистских течений.
Первая выставка Ивана Чуйеова прошла в рамках VII Всемирного фестиваля молодёжи и студентов в 1957 году. Его персональные выставки проходили в Москве (1992, 1998, 2000– 2002, 2004, 2006, 2008, 2010, 2015), Франции (1979), Швейцарии (1987), Германии (1989, 1999, 2001, 2003), Испании (1990) и Великобритании (2012).
Картины Ивана Чуйкова находятся в коллекции Государственной Третьяковской галереи, Государственном музее изобразительных искусств им. А.С. Пушкина, Государственного Русского музея, Московского музея современного искусства, Центра Помпиду и других музеев.
Иван Чуйков скончался 11 ноября 2020 года в Москве от коронавируса.
