Николай Быковский родился 6 декабря (24 ноября по старому стилю) 1834 года в Москве. Его отец архитектор, академик Императорской Академии художеств Михаил Доримедонтович Быковский (1801–1885).
В 1850–1856 годах Николай учился в Московском училище живописи, ваяния и зодчества (курса не окончил), у Е.Я. Васильева, М.И. Скотти. В 1856 году за представленные в Императорской Академии художеств (ИАХ) работы «Портрет старика» и рисунки с натуры он был награждён Малой серебряной медалью и получил звание свободного художника портретной живописи и право посещать классы ИАХ. В 1856 году на собственные средства он переехал в Рим, где продолжил заниматься под руководством М.И. Скотти.
В 1860-х годах Николай жил и работал в Италии и Дюссельдорфе. За выполненную в 1864 году в Дюссельдорфе картину «Маргарита в церкви» на сюжет поэмы И.-В. Гете «Фауст» он получил звание классного художника 3-й степени. В 1867 году за картину «Сцена из семейного быта музыканта XVII века» Николай был удостоен звания академика исторической живописи. Николай Михайлович писал картины на исторические и бытовые сюжеты, портреты. Он автор живописных произведений: «Вдова», «Урок музыки», «Гармония» (1866), «На даче. Девочка за чисткой ягод» (1880). В 1870-е годы он участвовал в росписи Храма Христа Спасителя в Москве.
С 1863 года Николай Быковский участвует в выставках. Он экспонировал свои произведения на выставках в залах Императорской Академии художеств (1863–1868, с перерывами), Товарищества передвижных художественных выставок (1872–1874), Московского общества любителей художеств (1880–1893, с перерывами), Всероссийской художественно-промышленной выставке в Москве (1882).
Работы Николая Быковского имеются в Государственной Третьяковской галерее, музее–заповеднике «Абрамцево» и других музейных собраниях.
Николай Быковский скончался в 1917 году в Москве.
