Наркиз Бунин родился 13 февраля (1 по старому стилю) 1856 года в селе Касторное Землянского уезда Воронежской губернии Российской империи в семье дворянина.
В 1872 году Наркиз окончил Михайловскую Воронежскую военную гимназию и поступил на учёбу в Санкт-петербургский Горный институт. Параллельно со службой в 1881 году с разрешения командира полка и великого князя Владимира Александровича Наркиз поступил вольнослушателем в Императорскую Академию художеств, в класс батальной живописи. За время учёбы он получил две Малые серебряные медали (1884, 1885) и Большую серебряную медаль (1887). Обучение Наркиз окончил в 1887 году.
В 1877 году в качестве вольноопределяющегося поступил в службу в Петровский 88-й пехотный полк, а в 1878 году начал служить в Егерском лейб-гвардии полку. В 1880 году сдал экзамены при Константиновском училище и был произведён в прапорщики, дослужился до звания полковника, и в 1900 году вышел в отставку по болезни. Вскоре после выпуска из Академии художеств за картины «На мельнице», «На другой день», «Череда» и «Под Горным Дубняком» его признали почётным вольным общником Академии. Работы Наркиза Николаевича в основном посвящены батальным сюжетам. Он писал бои и сражения Отечественной войны 1812 года, Русско–турецкой 1877–1878 годов и Русско–японской войны 1904–1905 годов, а также армейские будни вне военных действий. В 1889 году был издан альбом с его рисунками «Русский военный быт». Его работы публиковались в столичных журналах «Нива», «Север», «Живописное обозрение».
Начиная с 1884 года, Наркиз Николаевич принимал активное участие в выставках Императорской Академии художеств. С 1892 по 1896 год его работы демострируются на выставках «Общества русских акварелистов».
Работы находятся в Государственном Эрмитаже, Артиллерийском и Военно-Морском музеях, Владимиро–Суздальском музее-заповеднике, Национальной галерее Республики Коми, Донецком областном художественном музее, в другие музеях и частных коллекциях (судьба многих полотен неизвестна).
Наркиз Бунин скончался 26 марта (13 по старому стилю) 1912 года в Санкт-Петербурге. Похоронен на Литераторских мостках Волковского кладбища.
