Борис Неклюдов родился 2 июля 1938 года в Воронеже в семье Павла Ивановича Неклюдова и Валентины Васильевны Неклюдовой (урождённой Комоловой). Он брат–близнец советского и российского художника, члена–корреспондента Российской Академии художеств Владимир Павлович Неклюдова. Его отец, будучи военным врачом, дошёл до Берлина и остался там на военной службе в течение нескольких лет. После его возвращения в СССР, в 1952 году семья переехала в Москву.
В 1962 году Борис окончил Московское высшее художественно–промышленное училище (сейчас Московский высший художественно–промышленный университет им. Строганова), специальность «монументально-декоративная живопись». Его педагогами были С.В Герасимов, Н.Х. Максимов, Б.В. Иорданский.
В 1964 году Борис вступил в Союз художников СССР, России. Он являлся председателем правления секции монументального искусства Московского союза художников, профессор кафедры академической живописи Московского высшего художественно–промышленного университета им. Строганова. В 2009 году Борис был избран членом–корреспондентом Российской академии художеств от Отделения живописи. Его основные монументально-декоративные проекты: совместно с братом В.П. Неклюдовым – фреска «Детство», «Отрочество», «Юность» (Школа №318, Москва, 1970), Фреска «Встречи и прощания» (Аэропорт, Магадан, 1974), Мозаика «Там вдали за рекой» – «гражданская война», «Семья», «Слава» (Музей Комсомольской славы, Великие Луки, 1973), Фреска «Детство, отрочество, юность» (Пионерский лагерь «Зорька», Московская область, 1976), Фрески на тему «Времена года» («Станкоимпорт», Москва, 1976), Фрески «Молодая семья», «Встреча», «Спортивная игра» (Завод «Калибр», Москва, 1976), Фреска в зимнем саду во Дворце культуры завода «Электроника» (Воронеж, 1976), Фрески для кинотеатра «Орбита» (Москва, 1976), Совместно с В. Неклюдовым фреска для гостиницы «Жемчужина» (Сочи, 1979), Римские мозаики в институте повышения квалификации Министерства заготовок РСФСР (Москва, 1979), Римские мозаики в вестибюле станции метро «Южная» московского метрополитена (1983), Римские мозаики в фойе здания государственной филармонии в Майкопе (1985), Маркетри и флорентийские мозаики в театре Сатирикон в Москве (1987), Римские и флорентийские мозаики и витражи в ДК совхоза Московский (1988), Флорентийская мозаика и витраж в Управлении московского метрополитена (1990), Флорентийская мозаика в Госкомитете по информатике (1992), Роспись зала детского реабилитационного санатория в Серебряном Бору в Москве (1998), Композиции в технике флорентийской мозаики в Московском камнеобрабатывающем комбинате (2003), Мозаичное мощение из цветных гранитов на площади перед Московским международным Домом музыки (2003), Композиции в технике флорентийской мозаики на фасаде здания Московского городского суда (2004), Флорентийская мозаика (архитектор Д.С. Солопов) в зале церковных Соборов Храма Христа Спасителя «Сошествие Святого духа на апостолов», «Град небесный», «Град земной» (Москва, 800 кв.м., 2000).
Борис Неклюдов участник участник московских, всесоюзных и республиканских выставок с 1964 года. Он неоднократно проводил персональные выставки, в том числе в Московском государственном художественно–промышленном университете им. Строганова (1997, 1999), галерее «Золотое кольцо» (1998), зале Московского союза художников на Кузнецком мосту (1998, 2008).
Станковые произведения Бориса Неклюдова представлены в Государственной Третьяковской галерее, Музе архитектуры им. Щусева и Музее современной истории России, а также находятся в частных собраниях в России и зарубежом.
Борис Неклюдов скончался 24 июня 2014 года в Москве.
