Борис Лавренко родился 6 мая 1920 года в Ростове-на-Дону в простой рабочей семье. Успех одной из его работ на городской выставке школьного творчества помог ему определиться с выбором дальнейшего жизненного пути.
В 1936 году, после окончания 8-го класса средней школы, Борис поступил в Ростовское художественное училище. Одним из его педагогов был Александр Михайлович Черных (1895–1964). После окончания войны и демобилизации Борис продолжил обучение в художественном училище, которое окончил в 1946 году. В этом же году он поступил в Ленинградский институт живописи, скульптуры и архитектуры (ЛИЖСА) им. И.Е. Репина. Его педагогами в разные годы обучения были Генрих Васильевич Павловский (1907–1973), Иосиф Александрович Серебряный (1907–1979), Михаил Иванович Авилов, Иван Петрович Степашкин, Пётр Петрович Белоусов, Борис Владимирович Иогансон. На третьем курсе, когда настало время выбора персональной мастерской наставника для продолжения обучения, Борис выбрал творческую мастерскую выдающегося советского художника–живописца, педагога, руководителя батальной мастерской ЛИЖСА профессора Рудольфа Рудольфовича Френца. В 1952 году Борис представил на защиту диплома – жанровую картину «На колхозном стадионе». Высший балл, полученный у членов совета, принёс ему диплом с отличием и квалификацию художника живописи. После завершения обучения Борис был приглашён на стажировку в творческую мастерскую Академии художеств СССР под руководством Бориса Владимировича Иогансона.
В 1940 году Борис был призван с пятого курса училища в ряды Рабоче–крестьянской Красной армии. Его направили на курсы подготовки младших командиров артиллерийских расчётов. Уроки недавно закончившейся войны с белофиннами требовали существенных изменений в системе воинской подготовки, и Борис усердно изучал военное дело.
Начало Великой Отечественной войны Борис встретил, обучаясь на курсах артиллеристов, но вскоре был направлен в действующую армию. Боевое крещение он принял в качестве командира орудия в тяжёлых боях на подступах к Москве. Он воевал на Центральном и 1-м Белорусском фронтах. Как артиллерист Борис прошёл весь нелёгкий путь от Москвы до Берлина. Он награждён орденом Отечественной войны второй степени, медалями «За оборону Москвы», «За взятие Берлина», «За победу над Германией». Его фронтовые рисунки, этюды, портреты интересны как с исторической и документальной, так и с художественной стороны.
В 1953 году Борис вступил в Ленинградской Союза художников. С 1954 года он начал преподавать в ЛИЖСА им. И.Е. Репина. Борис Михайлович пробовал свои силы в различных художественных стилях, работал в разных техниках. Он с одинаковым успехом писал портреты, жанровые и тематические картины, пейзажи, натюрморты. Его творческую манеру отличало широкое письмо, энергичный мазок, искусная передача тональных отношений и состояний световоздушной среды, осязаемой материальности объёмов и форм. В его более поздних произведениях 1970–1980-х годов произошло заметное усиление декоративности колорита и обобщённости формы. После успешной защиты в 1983 году Борису Михайловичу была присвоена учёная степень кандидата искусствоведения. В 1985 году он стал профессором Ленинградского института живописи, скульптуры и архитектуры им. И.Е. Репина, заведующим персональной мастерской и графическим отделом института. В 1976 году ему было присвоено почётное звание Заслуженный художник РСФСР, а в 1994 году – Народный художник Российской Федерации.
Начиная с 1936 года Борис Лавренко активно участвовал в различных художественных городских, республиканских и всесоюзных выставках. Он был участником многочисленных международных выставок советского искусства: в Варшаве (1955), Пекине (1958), Париже (1990) и Турине (1995). Его персональные выставки проходили в Ленинграде (1972, 1986), Москве (1972), Ростове–на–Дону (1972), Санкт–Петербурге (1996).
Работы Бориса Лавренко находятся в Государственном Русском музее, Музее Академии художеств в Санкт–Петербурге, Государственном центральном музее современной истории России, Дирекции выставок Художественного фонда России, Ярославском художественном музее, Чувашском государственном художественном музее в Чебоксарах, Музее русской живописи и прикладного искусства в Санкт–Петербурге, Волгоградском музее изобразительных искусств им. И.И. Машкова, Вологодской областной картинной галерее, Брянском областном художественном музейно–выставочном центре, Костромском государственном историко–архитектурном и художественном музее–заповеднике, Краснодарском краевом художественном музее им. Ф.А. Коваленко, Дальневосточном художественном музее в Хабаровске, Самарском областном художественном музее, Ростовском областном музее изобразительных искусствв, Государственном музее изобразительных искусств Туркменистана, Pirra Art Gallery в Турине (Италия), а также в частных собраниях.
Борис Лавренко скончался 7 июня 2001 года в Санкт-Петербурге. Похоронен на Серафимовском кладбище.
