Борис Гринин родился 11 августа 1920 года в Петрограде. В 1934 году он поступил в Тамбовское художественное училище. В 1937–1940 годах, после реорганизации училища, Борис продолжил обучение в Пензенском художественном училище. В 1940 году Борис был призван на действительную военную службу в Красную Армию и был направлен на учёбу в Иркутскую школу младших специалистов топографической службы. После начала Великой Отечественной войны он проходил службу топографом в топографической части Забайкальского военного округа. В 1943 году в составе спецподразделения Генерального штаба Красной Армии в качестве топографа Борис находился в Китае. В 1943–1945 годах он продолжил службу топографом в составе 3-й Гвардейской танковой армии 1-го Украинского фронта. После демобилизации в 1946 году Борис вернулся к учёбе в Пензенском училище, которое окончил в 1948 году.
В 1948–1954 годах Борис обучался на живописном факультете Института живописи, скульптуры и архитектуры им. И.Е. Репина Академии художеств СССР. Он занимался у Л.Ф. Овсянникова, В.В. Мешкова, П.П. Белоусова, Ю.М. Непринцева, И.А. Серебряного. В 1954 году Борис окончил институт по мастерской профессора Р.Р. Френца, представив дипломную картину «Подарок» («Новое пианино»), за которую ему была присвоена квалификация художника живописи.
В 1954 году по результатам дипломной картины Бориса приняли в члены Ленинградского Союза советских художников. Он работает по договорам с Ленинградским отделением Художественного фонда РСФСР. В 1960-е годы Борис начал преподавать в Ленинградском художественно-педагогическом училище. В своём творчестве Борис Иванович пециализировался на пейзажах и в жанре бытовой живописи. Он автор картин «Молочница» (1952), «Подарок» (1954).
Борис Гринин участвовал в выставках с 1954 года – его картина «Подарок» экспонировалась на 3-й Всесоюзной выставке дипломных работ студентов художественных вузов СССР в Москве. Борис участвует в основных выставках ленинградских художников
Работы Бориса Гринина находятся в Научно-исследовательском музее при Российской Академии художеств, Государственном художественном музее Алтайского края, в других музеях и частных собраниях в России и зарубежом.
Борис Гринин скончался 3 апреля 1969 года в Ленинграде.
