Борис Успенский родился 12 июля 1927 года в Москве.
Борис окончил Московское художественно-педагогическое училище памяти 1905 года (1942–1947), затем Московский Государственный Художественный институт им. В.И. Сурикова (1947–1953), мастерскую М.М. Черемных, Н.А. Пономарёва.
В 1953–1963 годах Борис создаёт общественно-политические плакаты для издательства «Изогиз». В 1953 году он вступает в Союз художников СССР (далее Союз художников России), он секретарь правления СХ РСФСР (1986–1993), первый секретарь правления (1993–1999), секретарь правления СХ РФ (1999–2005). До середины 1980-х годов Борис работает в соавторстве с О.М. Савостюком. В 1957–1980-е годы он сотрудничает в мастерской «Агитплакат» Союза художников СССР, в 1960–1970-е годы – создаёт театральные афиши, главным образом, к балетным спектаклям Большого театра. С 1962 года начинается его преподавательская деятельность в мастерской станковой графики Московского государственного художественного института им. В.И. Сурикова, профессор (1984), заведующий кафедрой графики (1990–1998), руководитель мастерской станковой графики. Борис Александрович выполняет заказы издательства «Советский художник» по темам международная политика, охрана природы, достижения науки, освоение космоса (1963–1966), оформляет интерьер международной выставки Биеннале плаката в Варшаве (1968), исполняет плакаты в издательстве «Советская Россия» (1968–1969). В 1970 году Успенскому присвоено звание «Заслуженный художник РСФСР», в 1973 году он Награждён Серебряной медалью Студии им. М.В. Грекова. Успенский создаёт плакаты для издательства «Изобразительное искусство» (1970–1974), серии графических работ, посвящённых людям Карелии (1971–1972), активно сотрудничает в издательстве «Плакат» (1975–1990). Основные его работы – плакаты (гуашь, темпера) «Волю Кубы не сломить» (1960), «Путь к победе» (серия, 1970–1972). «Берегите всё живое» (1972), «Москва – сердце Родины» (серия, 1977–1980), «Помните» (1980) и другие, афиши и буклеты к театральным постановкам, живописные работы (темпера) – серии «Пограничники Карелии» (1970), «Балет» (1972), картины «Граница», «На мосту» (обе – 1972), «Художники Революции» (В.В. Маяковский, М.М. Черемных, С.В. Малютин, 1976). В 1980 году Успенскому присвоено звание «Народный художник РСФСР». С 1980-х годов он занимается, главным образом, станковой графикой. Борис Успенский член-корреспондент (1988), действительный член Российской академии художеств (Отделение графики, 2001).
С момента окончания института Борис Успенский постоянный участник выставок – всесоюзных, всероссийских, московских, зарубежных, международных, персональных.
Работы Бориса Успенского находятся в собраниях Министерства культуры Российской Федерации, Союза художников России, Государственной Третьяковской галереи, Театрального музея им. А.А. Бахрушина, Санкт-Петербургского театрального музея, Государственного музейно-выставочного центра Росизо, Красноярского художественного музея им. В.И. Сурикова, картинной галереи Курска, музеев городов Владивосток, Тобольск, Комсомольск-на-Амуре, Петрозаводск, Томск, Вологда и других.
Борис Успенский скончался 28 сентября 2005 года в Москве. Похоронен на Введенском кладбище (19 уч.).
