Аким Багаев (Багоев) родился предположительно в 1826 году в селе Павлиново Новгородской губернии. Эта дата установлена на основании «отпускного» документа о предоставлении ему свободы в 1850 году, где указано, что на тот момент художнику было 24 года. Аким был крепостным генерал–майорши Е.Н. Бегичевой. В 1840–1841 годах он выполнил четыре портрета помещиков Бегичевых и их родственников. В 1850 году он был отпущен на волю дочерью Е.Н. Бегичевой, А.И. Колзаковой (в замужестве), за выкуп в 150 рублей серебром. Деньги на выкуп собрал архитектор А.И. Штакеншнейдера.
С 1851 по 1852 год Аким посещал классы живописи Императорской Академии художеств (ИАХ). 23 марта 1851 года он подал в Совет ИАХ прошение о присвоении звания «художника по живописи», приложив свои работы. Однако в звании ему отказали.
Судьба Акима Арефьевича после окончания обучения в Академии неизвестна. Он автор работ «Портрет Анны Ивановны Бегичевой» (1840), портрет «А.П. Керн» (1840), «Бытовая сцена. На заднем дворе» (1843), Портреты Евпраксии Николаевны Вревской и Алексея Николаевича Вульфа (1841).
Работы Акима Багаева находятся в собрании Государственного Эрмитажа, также его работы могут находиться в региональных музеях России (Новгородской или Псковской области) и в частных собраниях.
Дата смерти Акима Багаева неизвестна.
