Аркадий Крымский родился 23 октября 1920 года в деревне Мухины Поляны Рязанской области. В 1938 году он занимался в народной студии изобразительных искусств, у В.И. Гранди и А.М. Герасимова.
В 1940 году закончил Московское художественное училище памяти 1905 года. Его преподавателем был А.Н. Чирков. В 1954 году он окончил 3-х годичную студию повышения квалификации «Всекохудожник» при МТХ у Г.И. Цейтлина, И.М. Лейзерова, А.В. Куприна.
Аркадий участник Великой Отечественной войны, был разведчиком полковой разведки на Северо-Западном, 2-м Прибалтийском, Волховском фронтах. Он награждён орденами: «Отечественной войны» I степени и «Красной Звезды», медалями: «За отвагу», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.». и другими.
В 1946–1950 годах Аркадий преподавал в Московской средней школе искусств. В 1968 году он вступил в Союз художников СССР, был членом партбюро секции живописи МОСХ РСФСР, членом художественного совета копийно-портретного цеха комбината диорамно-макетных и художественных работ МГО ХФ РСФСР. Результатом его творческих поездок на Северный флот, в воинские лётные части, на комсомольские стройки явились произведения: «На вахте», «Матрос с баяном», «Диспетчер Саяно-Шушенской ГЭС», «Лётчики», «Портрет лётчика-космонавта В.Ф. Быковского». Своё творчество Крымский посвятил военно-патриотической теме. Его основные произведения: триптих «Десантники» (1966-69), «Моё поколение» (1971), «Мать» (1979), «Скорбь матерей» (1980), «Декабрист Г.С. Батеньков» (1982), «Первый десант в Нижний Уренгой» (1984).
С 1954 года Аркадий Крымский принимал участие в московских, республиканских и всесоюзных художественных выставках. Его персональная выставка прошла в Москве в 1980 году.
Картины Аркадия Крымского находятся в Муниципальной картинной галерее города Красноармейск (Московская область) и других музеях России.
Аркадий Крымский скончался в 2004 году.
