Анатолий Заславский родился 2 ноября 1939 года в Киеве. Во время Великой Отечественной войны он был эвакуирован в Туркмению. В 1945-м году его семья вернулась на Украину. После окончания средней художественной школы в 1957 году, Анатолий поступает в киевский государственный институт им. Тараса Шевченко, где вначале был принят на педагогическое отделение, а позже переведён на живописный факультет, с которого он был тут же и исключён за плохое знание украинского языка. Исключение подвигло Анатолия переехать в Ленинград.
Анатолий поступил в высшее художественно-промышленное училище им. Мухиной на отделение монументальной живописи. В 1965-м году он окончил училище.
На рубеже шестидесятых-семидесятых годов двадцатого века, когда только начиналась творческая карьера Анатолия, его живопись уже отличалась от сухого академизма своей жизнерадостностью, раскованностью, искренностью и любовью к цвету. В то же время его манера была далека и от так называемого «неофициального искусства». Золотая середина, которой придерживался Анатолий, оказалась наиболее естественным выходом из состояния всё более накаляющихся противоречий между двумя полюсами искусства в Советском Союзе. Похожие взгляды разделяли тогда такие художники, как Завен Аршакуни и Герман Егошин, которые несомненно повлияли на живописную манеру Заславского, и к которым он относится с большим уважением. В 1977 году Анатолий вступает в Союз художников России. Мир в его картинах одушевлён, отмечен трепетным отношением. Особенное значение Анатолий придаёт цвету, к выразительным возможностям которого испытывает бесконечное доверие. Заславский убеждён, что «цвет – это не просто окрашенность предмета», но также ключ к пониманию его сути. Вообще, в какой-то момент граница между природой жизни и природой красочных отношений у Заславского стирается: изображённый предмет перестаёт быть лишь намёком на предмет реальный, и сама живопись обретает новую самостоятельную ценность. Живопись остаётся для него сугубо личным, приватным делом, средством самовоспитания и познания мира. Вместе с Б. Борщом, И. Васильевой, А. Молевым, Ю. Сопиной, В. Яшке, Г. Мудреновым, А. Румянцевым и некоторыми другими художниками Заславский входит в художественную группу «Безнадёжные живописцы». Заславский является членом Международной федерации художников (IFA) с 1992 года и действительным членом Академии Современного Искусства Санкт-Петербурга. Анатолий Савельевич является автором работ: «Прогулка» (998), «Стрижка деревьев» (1997) и «Большая стрижка» (1995).
Анатолий Заславский принимает участие в выставках с 1987 года в России – Санкт-Петербурге (1997, 1998, 2002, 2007), Москве (2003), на Украине – Киев (1993), в США – Нью-Йорк (1999, 2006), Израиле – Ромат-Гане (2004), и в других. Его персональные выставки проходили в Ленинграде (1987, 1991) и Санкт-Петербурге (1992, 1997, 1998, 2003, 2007), Киеве (1993), Нью-Йорке (1999, 2006), Москве (2003), Ромат-Гане (Израиль, 2004).
Работы Анатолия Заславского находятся в Государственном Русском музей, Государственном музее истории Санкт-Петербурга, Музее театрального и музыкального искусства, Пермской картинной галерее, Дальневосточном художественном музее Хабаровска, Музее современных искусств им. С.П. Дягилева, Музее современного искусства Эрарта, Киевском Государственном музее русского искусства, в частных коллекциях России, Германии, Дании, Израиля, США, Южной Кореи.
Анатолий Заславский скончался 15 июля 2026 года в Санкт-Петербурге после продолжительной болезни (онкологическое заболевание). Похоронен на Казанском кладбище в Пушкине.
