Анатолий Алексеев родился 23 января 1929 года в деревне Родина (ныне – Алтайского края).
В 1946–1950 годах Анатолий обучался в Иркутском художественном училище у А.П. Крылова. В 1950–1956 годах он продолжил обучение в Харьковском государственном художественном институте на живописном отделении у С.Ф. Беседина, А.П. Любимского, И.И. Карася.
С 1956 по 1965 год и с 1976 по 1980 год Анатолий преподавал в Иркутском училище искусств. Среди его учеников Ю. Суракевич, С. Якобчук, Л. Гимов. В 1960 году он вступил в Союз художников СССР, в 1968 году – в КПСС. В 1964–1975 годах и в 1986–1987 годах он был председателем правления Иркутской организации Союза художников СССР и РСФСР. В 1975 году ему присвоено звание заслуженный художник РСФСР. С 1972 по 1988 год его избирали секретарём правления Союза художников РСФСР, председателем зонального выставкома. В 1981 году ему присвоено звание Народный художник РСФСР. С 1983 по 1991 год его избирают секретарём правления Союза художников СССР, в 1984 году – членом корреспондентом Академии художеств СССР. С 1988 года он Действительный член Академии художеств СССР (1988). Анатолий Иванович автор работ: «Легендарная хроника» (1967), «Девушка из Гоби» (1973), «Строители–скалолазы Саянской ГЭС» (1974), «Посвящение А. Одоевскому» (1974), «Портрет фотокорреспондента ТАСС М.М. Минеева» (1976), «Угрюм-река» (1978), триптих «Ежегодно 9 мая в парке культуры» (1979), «Портрет писателя В.Г. Распутина с матерью Ниной Ивановной и дочерью Машей» (1979), «Родители» – диптих «Иван Иванович и Алёша Алексеев», «Мать» (1985), «Солдат Великой Отечественной войны Двигамир Исаков» (1985), «Писатель Валентин Распутин» (1995), «Лето в Грудинино» (1997), «Портрет художника Глеба Богданова» (1997), «Портрет народной артистки России Галины Крамовой в роли Анны Карениной» (1998), «Портрет внука» (2003), «Врубель» (2009–2011). В 1975 году ему присвоено звание Заслуженный художник РСФСР, а в 1981 году – Народный художник РСФСР. С 2000 года Анатолий Алексеев – Почётный гражданин Иркутской области.
Анатолий Алексеев участник межобластных и областных выставок с 1956 года, зональных выставок 1964, 1967, 1969, 1974, 1980 и 1985 года, республиканских выставок в Москве – в 1959 году, всесоюзных выставок в Москве – с 1956 года, зарубежных выставках в ГДР (Цвиккау, Пллауэн, Карл-Маркс-Штадт,1978–1979), Венгрии (Ниредьхаза-Шошто, 1972), Монгольской народной республике (Улан-Батор, Сухэ-Батор, 1973), Афганистане (Кабул, 1984), Италии (Рим, 1978), Чехословакии (Прага, 1985). Его персональные выставки прошли в Иркутске (1973, 1980, 1981, 1983, 1990, 1999, 2012) и Ангарске (1973, 1982, 1984).
Картины Анатолия Алексеева хранятся в Иркутском областном художественном музее им. В.П. Сукачёва, в Иркутском краеведческом музее, в музеях Красноярска, Барнаула, Кемерово, Новосибирска, Нередьзаха (Венгрия), Министерстве культуры России, Союзе художников России и в частных коллекциях России, США, Италии, Франции.
Анатолий Алексеев скончался 3 марта 2019 года в Иркутске.
