Анатолий Бичуков родился 24 мая 1934 года в Донецке.
С 1949 по 1951 год Анатолий учился в Донецком художественно–декоративном училище, после окончания которого был направлен в Москву для работы над оформлением домов на Фрунзенской набережной.
С 1959 по 1964 год Анатолий учился на факультете скульптуры Государственного художественного института им. В.И. Сурикова, где занимался скульптурой под руководством М.Г. Манизера, а также посещал занятия Л.Е. Кербеля.
В 1950-х годах Анатолий прошёл службу в рядах Советской Армии стрелком–радистом, затем он работал художником–графиком в изданиях «Литературная жизнь», «Красная звезда», «Советский патриот» и «Медицинская газета». После выпуска из Суриковского института он работал при Художественном фонде СССР. В 1967 году Анатолий был принят в Союз художников СССР. Его первой заметной монументальной работой стал гранитный памятник поэту Борису Корнилову (1968), установленный в городе Семёнов Горьковской (ныне Нижегородской) области. В 1972 году по рекомендации Президиума Академии художеств СССР Анатолий Андреевич возглавил Студию художников им. В.В. Верещагина при Министерстве Внутренних Дел СССР (ныне МВД России), которой он руководил до 2013 года. В 1977 году ему присвоено звание Заслуженный художник РСФСР, а в 1980 году – Народный художник РСФСР. В 1987–2001 годах Анатолий Бичуков был заведующим кафедрой скульптуры и композиции Российской академии живописи, ваяния и зодчества в Москве. С 2001 по 2011 дох он занимал пост ректора Московского государственного академического художественного института им. В.И. Сурикова при Российской академии художеств. В 2000-х годах Анатолий Бичуков принимал участие в работах над оформлением Храма Христа Спасителя в Москве, за что был награждён медалью Русской Православной Церкви преподобного Сергия Радонежского. Он является автором множества монументальных памятников известным государственным деятелям и героям СССР. Наиболее известные его произведения «Благодарная Россия – солдатам правопорядка, погибшим при исполнении служебного долга» на Трубной площади в Москве (1994), композиция «Защитникам земли российской» на Поклонной горе (1995), памятник Сергею Есенину на Тверском бульваре в Москве (1995), памятники «Лётчикам – героям гражданской авиации, погибшим в годы Великой Отечественной войны 1941–1945 гг.» во Внуково (1984), «Героям–медикам, погибшим в годы Великой Отечественной войны 1941–1945 гг.» в Кисловодске (1997), маршалу Г.К. Жукову в Одинцове, памятники С.А. Есенину и Аркадию Пластову в Ульяновске (2003). В 2002 году он выполнил бронзовые фигуры российских императоров Петра I, Екатерины II, Николая I и Александра II для резиденции президента РФ в Большом Кремлёвском дворце. Одна из особенностей его пластического языка – умение объединять несколько смысловых планов: рельеф, статуарную композицию и архитектурное обрамление. В портретах он стремился раскрыть индивидуальность героя, не сводя образ к официальному пафосу. Анатолий Бичуков являлся действительным членом Российской академии художеств и Академии менеджмента в образовании и культуре, членом Государственного художественного совета, членом Президиума (с 1998), вице-президентом (с 2001), академиком-секретарём Отделения скульптуры (2001–2012) Российской академии художеств. В марте 2014 года он подписал письмо президенту России Владимиру Путину в поддержку присоединения Крыма.
С 1969 года Анатолий Бичуков становится участником московских, всероссийских, зарубежных и международных выставок. Его персональныевыставки прошли в Москве, в региональных музеях, а также в залах Академии художеств и в зарубежных странах.
Произведения Анатолия Бичукова находятся в Государственной Третьяковской галерее, во многих музеях России и зарубежных коллекциях.
Анатолий Бичуков скончался 19 февраля 2020 года в Москве, в своей мастерской на улице Щепкина. Похоронен на Троекуровском кладбище.
