Алексей Бабичев родился 11 марта 1887 года в небогатой московской мещанской семье. Будучи гимназистом он подрабатывал частными уроками.
В 1905–1906 годах Алексей учился одновременно на математическом факультете МГУ и в частной художественной школе К. Юона и И. Дудина. Выбор был сделан в пользу искусств: из университета он ушёл и в 1907 году поступил в Московское училище живописи, ваяния и зодчества где учителями у него были Константина Алексеевича Коровин и Сергея Михайловича Волнухин. Алексей обучался пять лет и в 1912 году он окончил училище. В 1913 году в Париже, он недолгое время занимался в Академии «Гранд-Шомьер» у А. Бурделя
После окончания училища Алексей некоторое время преподавал рисунок в гимназии. В 1913 году он совершает первую поездку заграницу – Вена, Берлин, Париж. Он испытывал влияние А. Майоля, А. Бурделя, О. Родена. В 1914 году он совершает вторую поездку за границу: Греция, Италия. После этих поездок он создаёт в Москве свою скульптурную мастерскую по адресу ул. Мясницкая 21,в которой работал вплоть до революции.
После Октябрьской революции Алексей Васильевич активно работал как преподаватель и уже в том же году стал профессором Первых государственных свободных художественных мастерских (бывшее Строгановское училище). В 1920 году на основе московских государственных свободных художественных мастерских были созданы Высшие художественно–технические мастерские (ВХУТЕМАС) которые позже были переименованы в Высший художественно–технический институт (ВХУТЕИН). Во ВХУТЕМАСе – ВХУТЕИНе напряжённая организаторская, теоретическая и педагогическая работа Алексея Васильевича органично сочеталась с творчеством. Алексей участвовал в полемике конструктивистов и «производственников» с художниками-станковистами – «староваторами». В Институте художественной культуры (ИНХУКе) в Москве с 1921 г.ода он возглавлял группу «Объективного анализа». Его научная и педагогическая деятельность способствовала сложению основ будущего российского дизайна. Эти годы, с середины 1910-х и до конца 1920-х, были лучшими в его жизни – художника и педагога. С начала 1930-х годов в карьере Бабичева всё существенно меняется: в художественных институтах его педагогический талант и опыт не востребованы, заслуги забыты. Он уже не профессор, а одно время и не доцент, был ассистентом. Номинально ни художественная, ни педагогическая деятельность не прекращались вплоть до 1963 года. «Бетховен» (1912), «М. Врубель» (1919–1020, «Матрос» (1928), «Лётчик» (1929), «М. Фрунзе» (1930), «В. И. Ленин» (1933), «Стахановец (Забойщик)» (1937), «Академик М. Кирпичёв» (1943) и другие. Бабичев преподавал в Архитектурно-строительном институте, затем, недолго, в Полиграфическом (во время Великой Отечественной войны), и последние годы жизни – в Архитектурном. Он выполнял заказы по созданию памятников общественным деятелям, учёным и других. Значительных художественных произведений в этот период у него не появилось.
На выставке «Мир искусства» в 1913 году Алексей Бабичев показал статую «Молотобоец». Работа привлекла всеобщее внимание. В 1913 и 1917 года он участвовал в выставках «Мира искусства», в 1926, 1927, 1928 и 1929 годах – на 8-й, 9-й, 10-й и 11-й выставках Ассоциации художников революционной России, Выставке московских скульпторов – в 1937 году, а также в 1941 году – «Пейзаж нашей Родины», в 1943 году «Великая Отечественная война» и «Героический фронт и тыл» (1945).
Произведения Алексея Бабичева находятся в Государственной Третьяковской галерее, Государственном Русском музее и других музеях.
Алексей Бабичев скончался 29 апреля 1963 года. Похоронен на 14-м участке Ваганьковского кладбища в Москве.
