Алексей Зеленин родился 12 июня (31 мая по старому стилю) 1870 года в городе Оханске Пермской губернии. Он рано лишился родителей, стал круглым сиротой и был помещён в пермский приют для детей бедных, где он пробыл до 15 лет. Руководство приюта, заметив его склонность к рисованию, попросило местного художника, преподавателя Пермской мужской гимназии А.С. Шанина позаниматься с ним. Алексей оказался способным учеником и подготовился настолько, что был готов выдержать экзамен в Петербургскую академию художеств. В этом ему помогли известный художник–маринист И.К. Айвазовский и пермский профессор В.П. Верещагин, которым понравилась его работы. Пароходовладелец А.Г. Каменский взял на своё материальное попечение Алексея и отправил его в Петербург к своему брату, в семье которого Алексей прожил почти десять лет.
К моменту поступления в Императорскую академию художеств в 1886 году Алексей не имел аттестата об окончании средней школы, поэтому он был принят в Академию вольным слушателем. Каменский нанял для Алексея преподавателя, и тот вскоре сдал экзамен за пять классов, поступив в частную гимназию Гуревича. По её окончании он получил аттестат о среднем образовании и был зачислен в действительные студенты академии (1893). в 1895 году Алексей окончил академию и два года провёл в Париже, где работал в Луврском и Люксембургском музеях, писал парижские этюды. Также он посещал Академию Жулиана и Академию Коларосси.
Вернувшись из Парижа, Алексей выполнял росписи церквей. По его проекту в селе Ныроб Чердынского уезда вокруг часовни над местом заточения боярина Михаила Никитича Романова был создан сквер с художественной оградой. С 1897 года по 1941 год Алексей Несторович преподавал рисование в средних учебных заведениях Перми и Кунгура, читал лекции на школьных и дошкольных курсах в Перми, Чердыни, Свердловске, Усолье. Он участвовал в оформлении журналов «Искусство и жизнь», «Пермское церковно-археологическое общество». Для международного конгресса геологов, который состоялся в 1937 году в Свердловске, он выполнил рельефную карта Урала с указанием мест залежей полезных ископаемых. Алексей Зеленин был членом Союза художников СССР (1942) и членом Пермского общества любителей живописи, ваяния и зодчества. Он автор работ «На дне моря», «В окрестностях села Ильинского», «Царская семья», «Белогорский монастырь», «Проба голоса».
В 1897 году Алексей Зеленин участвовал в V Передвижной выставке петербургских художников. Он участвовал в выставке «Москва – Петербург» (1897), в художественных выставках Перми и Свердловске.
Работы Алексея Зеленина находятся в Пермской государственной художественной галерее, Пермском краеведческом музее, Березниковском историко-художественном музее и Чердынском краеведческом музее. В Государственном архиве Пермской области хранятся документы, относящиеся к Зеленину.
Алексей Зеленин скончался 24 марта 1944 года в Перми. Похоронен на Егошихинском городском кладбище.
