Алексей Грицай родился 7 марта (22 февраля по старому стилю) 1914 года в Санкт-Петербурге.
Базовые художественные навыки Алексей получил у мастеров старой Императорской Академии Роберта Баха и Роберта Залемана, затем с 1932 по 1939 год учился в Ленинградском институте живописи, скульптуры и архитектуры им. И.Е. Репина, где его главным учителем был Василий Николаевич Яковлев. Продолжил он обучение в мастерской видного советского живописца И.И. Бродского.
С началом Великой Отечественной войны Алексей Грицай был призван в действующую армию. Он служил на фронте в артиллерийских войсках, с боями прошёл до Сталинграда. Алексей Михайлович (1914–1998) был награждён орденом Отечественной войны II степени. После возвращения с фронта он занимался жанровой живописью («Заседание президиума Академии СССР»), но подлинную славу ему принесли пейзажи, изображающие среднюю полосу России. Среди известных его картин: «Вручение Государственного акта на пользование землёй» (1939), «Электропечи» (1947), «В Жигулях. Бурный день» (1948–1950), «Над Волгой» (1950–1952), «Вечером» (1954), «Подснежники. Осинник» (1957), «Первая зелень. Стадо» (1957), «Туман. Телята» (1962), «Пора весны» (1959–1965), «Чёрная вода» (1967), «Ледоход» (1984–1985). Долгое время Грицай преподавал в Художественном училище памяти 1905 года и в Московском государственном художественном институте им. В.И. Сурикова. Алексей Грицай является лауреатом множества государственных премий СССР. В 1974 году ему присвоено звание Народный художник СССР.
В 1946 году состоялся дебют Алексея Грицая на Всесоюзной художественной выставке, где он предстал как пейзажист-лирик. Его картины начали выставляться не только в СССР, но и зарубежом, при этом некоторые из них были достойно оценены. Примером является работа «Подснежники. Осинник», которая была отмечена бронзой медалью на международном фестивале в Брюсселе (1958).
Работы Алексея Грицая можно найти в крупных отечественных музейных собраниях, среди которых: Государственная Третьяковская Галерея и Государственный Русский музей, а также в частных коллекциях.
Алексей Грицай скончался 6 мая 1998 года, похоронен в Москве на Ваганьковском кладбище (участок № 58).
