Алексей Наумов родился 29 февраля (17 по старому стилю) 1840 года. Он прошёл курс городского училища, посещал воскресные классы Санкт-Петербургской рисовальной школы для приходящих, состоявшей в ведомстве министерства финансов (позже – рисовальная школа Общества поощрения художников).
В 1859 году Алексей поступил в Императорскую академию художеств. Во время обучения он получил Малую серебряную медаль (1868) за успехи в рисовании. Алексей был выпущен в 1872 году со званием классного художника 3-й степени за картины «Дедушка укачивает внука», «Вид книжного магазина Глазунова» и других. В следующем году за этюд с натуры «Старик» на академической выставке ему присуждают звание классного художника второй степени.
Помимо жанровой живописи Алексей писал портреты и образа для церквей, а также занимался преподаванием рисования в разных учебных заведениях. В 1874 году он получил звание классного художника 1-й степени за картины «Курная изба и Монах капуцин». Наиболее известная его картина – «Дуэль А.С. Пушкина» (1884), в которой он передаёт свое видение рокового события в жизни поэта и всего русского общества. Полотно было приобретено великим князем Николаем Михайловичем и подарено императорскому Александровскому лицею. Сюжеты картин «Белинский перед смертью» и «Дуэль Пушкина» Наумову подсказал его друг, крестьянский поэт Спиридон Дмитриевич Дрожжин. Большинство работ Алексея Наумова отличаются задушевностью изображаемого и тихой симпатией к своим персонажам. Помимо собственно художественного творчества Алексей Аввакумович много времени уделял преподавательской работе. 20 сентября 1894 года он был утверждён штатным преподавателем рисования 2-й Санкт-Петербургской гимназии.
Алексей Наумов участвовал во Всемирной выставке 1876 года в Филадельфии, где выставил картины «Курная изба» (1874), «Подпасок, Сиротка, Проводы Масленицы в Тифлисе» (1876). Его картина, изображающая деревенского портного, экспонировалась на выставке в Лондоне, где была удостоена серебряной медали.
Работы Алексея Наумова находятся во Всероссийском музее Пушкина в Петербурге, музее-квартире Николая Некрасова в Петербурге.
Алексей Наумов скончался 9 ноября (28 октября по старому стилю) 1895 года в Санкт–Петербурге. Похоронен на Митрофаниевском кладбище.
