Александр Быстров родился 7 декабря 1956 года в Петровске Саратовской области. В 1976 году он окончил Саратовское художественное училище.
В 1985 году Александр окончил Институт живописи, скульптуры и архитектуры им. Е.И. Репина, мастерская профессора А.А. Мыльникова. С 1985 по 1989 год он стажировался в Творческой мастерской Академии Художеств (АХ) СССР под руководством А.А. Мыльникова. Его дипломная работа – эскиз мозаики «Александр Невский» для станции метро «Площадь Александра Невского» в Ленинграде.
В 1986 году Александр награждён Серебряной медалью АХ СССР за композицию в мозаике «Александр Невский» для станции ленинградского метрополитена «Площадь Александра Невского». Он автор мозаик для станций Петербургского метрополитена «Площадь Александра Невского-2», «Спортивная», «Старая Деревня», «Комендантский проспект», «Парнас», «Звенигородская», «Волковская», «Адмиралтейская», «Бухарестская», «Международная». В 1990 году Александр вступил в Союз художников. С 1990 года он создал серию картин, посвящённых истории России: «Междуусобица», «Чёрный ворон», «Заговор Софьи», «Ратное поле», «Казнь Пугачёва» и другие. В 1999–2000 годах он руководил бригадой художников по воссозданию Храма Христа Спасителя в Москве. В 2002–2004 годах руководил коллективом художников по созданию росписей и витражей Кафедрального Знаменского собора в Курске. Среди его основных работ: «Ледовое побоище» (1985), мозаики для станций метро «Спортивная», «Комендантский аэродром» (1989–1995), мозаичное панно «Александр Невский» (1990), витраж для станции метро «Петроградская» (1995–1996). В 1989–1993 годах Александр Кирович преподавал в Санкт–Петербургском государственном институте живописи, скульптуры и архитектуры им. И.Е. Репина, доцент и художественный руководитель мозаичной мастерской Академии художеств с 1994 года, с 2002 года – профессор. Среди его учеников: Роман Абдуллин, Егор Быстров, Артём Брославец, Чермен Гугкаев, Владимир Зенин, Марат Кесаев, Павел Медведев, Сергей Некрасов, Сергей Пичахчи, Рафаэль Сулейманов, Рустам Яхиханов и другие. В 1995 году его избрали членом–корреспондентом, а в 2001 году – академиком Российской академии художеств (Отделение живописи). Александру Кирович присвоено звание Заслуженный художник Российской Федерации (2001), и – Народный художник Российской Федерации (2009). В 2002–2004 годах Александр руководил коллективом художников по созданию росписей и витражей Кафедрального Знаменского собора в Курске. С 2009 года он организует поездки студентов учебной мастерской на пленэр в Китай.
С 1984 года Александр Быстров участвует в городских, республиканских и всесоюзных выставках. В 2021 году его творчество вместе с работами учеников было представлено на выставке «Война и мир» в московской Галерее искусств Зураба Церетели.
Произведения Александра Быстрова находятся в коллекции Музейного историко–краеведческого комплекса им. Героя Советского Союза Ивана Васильевича Панфилова (Петровск), Энгельсском краеведческом музее, а также в частных коллекциях России, Казахстана, Украины, Германии, Испании, Китая, Франции, Швеции, США.
