Александр Морозов родился 29 мая (17 по старому стилю) 1835 года в семье художника И.М. Морозова, «бывшего дворового».
С 1852 года Александр учился в Императорской Академии художеств (ИАХ) в Петербурге в качестве вольноприходящего ученика в классе исторической живописи у А.Т. Маркова. За время учебы он неоднократно отмечался медалями. В 1857 году он получил две Малых серебряных медали за портрет и рисунок, в 1858 году – Малую и Большую серебряные медали за этюд и рисунок с натуры, в 1861 году – Малую золотую медаль за картину «Отдых на сенокосе». В 1863 году Александр отказался от написания картины на Большую золотую медаль по заданной Советом ИАХ программе, подав прошение о разрешении свободного выбора сюжетов. Получив отрицательный ответ, он вышел из Академии, получив звание классного художника 2-й степени.
После выхода из Академии в 1861 году Александр стал членом основанной И.Н. Крамским Санкт-Петербургской Артели художников, принимал участие в разработке устава Артели. Он неоднократно совершал поездки по России, во Владимирскую губернию, Псков (1862), Поволжье (1868), Вятскую губернию (1885) и другие. Исполнял заказные работы для церквей Петрозаводска, Полоцка, Павловска и усадеб. Обращался к офорту и миниатюрному портрету. В 1864 за картину «Выход из церкви в Пскове», представленную на очередной академической выставке, он был удостоен звания академика. С 1874 года Александр Иванович преподавал рисование в Училище правоведения, с 1879 года он вёл черчение в Рисовальной школе Общества поощрения художников (художеств), давал частные уроки. В 1873 году он принял участие в создании Общества выставок художественных произведений в Петербурге. В 1887 году Александра Морозова избрали действительным членом Общества русских акварелистов. Морозов – один из наиболее заметных представителей группы художников, которую традиционно называют «малыми русскими жанристами». Расцвет его творчества приходится на 1860-е годы, когда им были созданы наиболее известные работы – «Отдых на сенокосе» (1861), «Выход из церкви в Пскове» (1864), «Сельская бесплатная школа» (1865) и другие. Для его произведений, как и многих мастеров его круга, характерны повествовательность, ясность композиционного построения, сдержанность колористической гаммы. Простота мотивов, отсутствие ярко выраженного критического начала, добродушная интонация и созерцательность, роднит их также с искусством А.Г. Венецианова и художников его школы. Морозов был основательно забыт ещё при жизни. В конце века, когда началось развитие декадентских школ, его причислили к эпигонам венециановской школы, назвали «запоздалым венециановцем», обошли молчанием все положительные, прогрессивные стороны его деятельности.
Александр Морозов экспонировал свои работы на академических выставках с 1854 года. В конце 1880-х – начале 1890-х годов он периодически экспонировал свои работы на выставках Товарищества передвижных художественных выставок.
Произведения Александра Морозова находятся в Государственной Третьяковской галерее, Государственном Русском музее и других.
Александр Морозов скончался 11 декабря (28 ноября по старому стилю) 1904 года в Санкт–Петербурге.
