Александр Бейдеман родился 29 августа (17 по старому стилю) 1826 года в Санкт–Петербурге. Его отец был коммерсантом, который неудачно повёл коммерческие дела, снабжая армию во время Русско-турецкой войны 1828–1829 годов. Образование Александр получил в Ларинской гимназии.
В начале 1840-х годов Александр стал посещать классы Императорской Академии художеств. В 1844 году он был учеником по классу живописи у профессора А.Т. Маркова. За время обучения им написаны эскизы на темы из отечественной истории «Приготовления к убийству св. Бориса (1015)», «Святополк Окаянный в исступлении», «Смерть Святополка Окаянного» и из библейской истории – «Воскрешение Лазаря» (все – 1845), эскизы «Мать Моисея», «Моисей, взятый из воды», «Сократ застаёт Алкивиада во время оргии» (все – 1846), «Умовение ног», «Жезл, обращённый в змия», «Несение Христа во гроб», «Предательство Далилы», «Иоанн Предтеча отрок в пустыни», «Крещение Ольги», «Клятва Брута над телом Лукреции» (все – 1847), эскизы «Христос у Марфы и Марии», «Воскрешение дочери Иаира», «Дочь Кимона кормит грудью отца в темнице» и «Эсфирь перед Артаксерксом» (все – 1848), «Освобождение преступного отца по просьбе сына Петром I» (1849). В 1851 году за портрет с натуры, Александр получил Большую серебряную медаль, 1853 года – Малую золотую медаль за картину по эскизу «Бегство в Египет». За Большую золотую медаль ему пришлось состязаться с Ильинским на тему «Приидите ко мне все труждающиеся». В конце 1855 г ода за Большую золотую медаль он конкурировал с Флавицким (будущим автором «Таракановой»), который тоже одержал верхи. На следующий год Александру исполнилось 30 лет, и по академическим законам он не мог бороться за медаль.
В 1840–1850-е годы Александр рисовал для различных изданий, сотрудничал в первом русском альбоме карикатур «Ералаш» Михаила Неваховича, был дружен с П.А. Федотовым, под влиянием его творчества написал сцены из «Носа» Гоголя и «Исчезновение холеры». Александр совершил поездку на Украину и Кавказ (1850–1851). В 1856 году он женился, но и семья не отвлекла его от заветной мысли попасть за границу. Несмотря на скудные средства, в 1857 году он отправился за границу. Побывав в Германии и Италии, он получил в Париже заказы для строившейся там православной церкви. Летом 1860 года он окончил порученные ему работы и возвратился в Санкт–Петербург, куда привёз с собой несколько начатых картин и множество этюдов. Менее чем за месяц он скомпоновал и написал картину «Руфь на ниве Вооза», за которую на общем собрании Академии художеств его признали академиком исторической живописи. Друзья и почитатели его таланта выхлопотали ему должность наставника в рисовальной школе Общества поощрения художников (1860–1866). Кроме того, Александр получил приглашение давать уроки рисования великим князьям Алексею Александровичу и Сергею Александровичу. Осенью 1861 года, по смерти П.А. Воинова, открылся конкурс на соискание должности адъюнкт-профессора Академии художеств. Для конкурсной работы Бейдеман, в особо отведённом кабинете, исполнил картон «Смерть детей Ниобеи, поражённых стрелами детей Латоны за презрение, оказанное их матери». Судьи конкурса признали его композицию лучшей, и он получил должность адъюнкт-профессора, адъюнкт-ректор Академии художеств (1865–1866). Среди его учеников был В.В. Верещагин. Но обязанности преподавателя не отвлекали его от работ в области искусства. В это время им исполнено много работ. Также он занялся религиозной живописью, писал оригиналы для мозаики в Исаакиевский собор – «Архангел Михаил» (1862), «Князь Владимир и княгиня Ольга» (1863), «Царь Константин и царица Елена» (1865). Он расписывал церкви в Петербурге и его окрестностях, а также в Крыму (Ливадия). Ему принадлежит оригинал образа Спасителя для усыпальницы князя Пожарского, сделанного мозаикой, образов пророчиц Анны и Елизаветы. Александр Егорович расписывал церкви: на Михайловской даче (великого князя Михаила Николаевича), в инженерном управлении и в Александровской больнице. По его рисункам сделан иконостас для военно-чертёжной школы в Санкт–Петербурге.
С 1851 года Александр Бейдеман является экспонентом на академических выставках.
Работы Александра Бейдемана находятся Государственном Русском музее, Государственной Третьяковской галерее, Государственном Эрмитаже, музее Академия художеств, Курской картинной галерее, в других музеях страны и в частных собраниях.
Александр Бейдеман скончался 11 марта (27 февраля по старому стилю) 1869 года вследствие тяжёлую травму головы из-за падения на голову плохо прикреплённой над дверьми гипсовой отливки.
