Александр Чикин родился 24 сентября 1865 года в семье богатого курского купца.
В 1884 году Александр поступил и в 1887 году окончил Императорскую Академию художеств в Санкт-Петербурге.
С первого года учёбы он подрабатывал иллюстратором в журналах «Нива», «Вестник знания», «Всемирная иллюстрация» и другими, иллюстрировал произведения классиков русской литературы – М.Ю. Лермонтова, В.А. Жуковского, И.А. Крылова, А.С. Пушкина, Ф.Ф. Тютчева. Увлёкся астрономией, приобрёл простую астрономическую трубу, с усовершенствования которой началась его будущая деятельность в области телескопостроения. В период обучения и позднее он много путешествовал по России и зарубежом. В 1886 году Александр побывал в Крыму, в 1887 году – посетил Палестину, в 1889 голу – Кавказ, 1888 году он побывал в Танганьике, на острове Занзибар и в Центральной Африке. Член Русского географического общества П.Е. Щербов и Александр стали первыми российскими путешественниками, достигшими подножия самой высокой точки Африки – горы Килиманджаро, но на саму гору не поднимались. В ходе поездки в Африку Александр Андреевич сделал большое количество путевых зарисовок, среди которых не только природные африканские ландшафты, но и много жанровых сцен из жизни коренного населения. В 1889 году он побывал на Кавказе, в 1890 году – в Курдистане и Персии, в 1891 году – в Лондоне. В качестве корреспондента Чикин посетил в 1896 и 1900 годах выставки в Нижнем Новгороде и Париже. Во время путешествий он вёл путевые дневники, часть которых сохранилась в архиве географического общества. Возвратившись в Россию, Александр зарабатывал на жизнь книжной графикой. В 1896 году он стал одним из иллюстраторов книги издательства Германа Гоппе «В память Священного Коронования Их Императорских Величеств Николая Александровича и Александры Фёдоровны 14 мая 1896 года». С 1898 года он продолжил занятия астрономией, изучал доступную ему иностранную, преимущественно английскую, и отечественную литературу. В 1899 году он создал плакат для Французской художественной выставки «Б. Морская 38». С 1899 по 1918 год Александр сотрудничал с типографией Р.Р. Голике в Санкт-Петербурге по выполнению заказов на рекламные плакаты для различных, гуляний, зрелищных и театральных представлений, рисовал афиши для Петербургского зоосада. 4 марта 1906 года Александру Чикину были пожалованы золотые часы с цепочкой торговой марки «Павла Буре» стоимостью в 135 руб. с изображением Государственного герба из Кабинета его императорского величества за «неоднократное исполнение картин с изображением высочайших особ». Самостоятельно овладев тонкостями техники шлифования и полировки зеркал, в 1911 году Александр изготовил 30-сантиметровое параболическое зеркало для телескопа-рефлектора. Статья Чикина об этом зеркале была напечатана в 1912 году в журнале «Известия Русского астрономического общества» и затем перепечатана отдельным изданием в 300 экземплярах. В 1915 году на средства Русского общества любителей мироведения он опубликовал книгу «Отражательные телескопы. Изготовление рефлекторов доступными для любителей средствами», которая вскоре стала настольной книгой для многих астрономов нашей страны – как любителей, так и профессионалов. Александр Чикин носил неформальный титул «отца любительского телескопостроения» в СССР. В 1909 году Александр был одним из учредителей и соавтором гимна Русского общества любителей мироведения, в 1912–1924 годах он был товарищем (заместителем) председателя совета этого общества профессора А.А. Иванова. Чикин опубликовал много статей по астрономии и оптике в журналах «Природа и люди», «Вестник знания», «Мироведение», предпринял издание серии книг, популяризирующих техническое творчество в области любительской астрономии и оптики, которые выдержали большое количество переизданий в 1920–1930-х годах. С 1919 года до конца жизни он работал в Государственном оптическом институте в Ленинграде, где создал школу специалистов в области астрономической оптики. Александр собственноручно изготовил серию «первоклассных», по выражению А.И. Тудоровского, параболических зеркал. Под его руководством осваивали тонкости изготовления оптических деталей Д.Д. Максутов и Н.Г. Пономарёв. Чикин был в числе организаторов в мае 1922 года так называемого Оптического кружка, преобразованного позднее в Русское оптическое общество. Он сделал на его заседаниях 9 докладов.
Работы Александра Чикина находятся в Архивах Русского географического общества, Российской национальной библиотеке, Великолукской центральной городской библиотеке им. М.И. Семевского.
Александр Чикин скончался 25 июля 1924 года. Похоронен на Смоленском кладбище в Санкт-Петербурге
