Александр Сведомский родился 19 сентября (7 по старому стилю) 1848 года в Санкт-Петербурге в дворянской семье. Свои детские годы Александр провёл вместе со своим младшим братом Павлом Александровичем Сведомским в родовом имении Михайловский Завод Осинского уезда Пермской губернии, Российской империи. После окончания гимназии Александр и Павел учились в Горном корпусе в Санкт-Петербурге. Затем они вместе с матерью уехали в Германию.
В 1870–1871 годах учился вместе с братом в Дюссельдорфской Академии художеств, а также в Мюнхене, где брал частным образом уроки у Эдуарда Гебгардта и известного венгерского художника-реалиста Михая Мункачи.
Александр совершил вместе с братом многие вояжи по европейским странам, изучая и знакомясь с местным изобразительным искусством. В 1875 года братья поселились в Риме, открыв там совместную художественную мастерскую. Свои картины они регулярно посылали на выставки в Россию, а также в страны западной Европы. Летом братья с семьями приезжали в родовое дворянское имение – Михайловский Завод близ Сарапула, где писали местные пейзажи, портреты своих служащих, эскизы и исторические полотна, черпали сюжеты и образы для будущих картин. Наиболее известная их работа на территории Российской империи – роспись Владимирского собора в Киеве, к которой организатор работ знаменитый искусствовед Прахов привлёк «звёздный состав»: Виктора Васнецова, Михаила Нестерова, Павла Сведомского, Вильгельма Котарбинского, Михаила Врубеля и не только. Женой Александра была певица и пианистка Кутукова Анна Николаевна (1871–1925). Александр Александрович был удостоен звания Почётного вольного общника Императорской Академии художеств. В основном Сведомский писал пейзажные работы с вкраплением жанровых сюжетов. Все пейзажи, написанные в Кипре и Помпеях и других итальянских городов, а также пейзажные работы, созданные на Михайловском Заводе, хранятся в Италии у наследников художника. В 1890-х годах братья продали более трети принадлежавших им лесов Сарапульскому купцу и лесопромышленнику П.А. Башенину.
Александр Сведомский демонстрировал свои картины на выставках Императорской Академии художеств и других, в том числе международных художественных выставках.
Работы Александра Сведомского имеются в Государственной Третьяковской галерее, Государственном Русском музее, Пермской государственной художественной галерее, Сарапульском историко-архитектурном и художественном музее-заповеднике, в музеях Киева и Казани, Кирова и Нижнего Новгорода, Одессы, Омска и в других собраниях.
Александр Сведомский скончался 15 июня (2 по старому стилю) 1911 года в Риме (Италия). Похоронен в земле Римского кладбища художников и поэтов (Римское некатолическое кладбище на Тестаччо).
